##集合的大小
有限集合的大小很容易比较，只需要数一数，比一比就完了
而无限集不能这么做。我们在这里规定集合\(A\)与\(B\)大小相等当且仅当存在\(f: A\mapsto B\)为双射
定理：无限集至少和它的一个真子集有双射
证明：考虑\(A\)，由选择公理，我们可以取出\(B\subset A\)且\(B\)可数，那么\(f:A\mapsto A\backslash B_0\)就可以取\(f(x)=\left\{\begin{aligned}\begin{equation}B_{i+1}, x=B_i\\x,x\not\in B\end{equation}\end{aligned}\right.\)
##康托定理
集合\(S\)总是小于它的幂集\(2^S\)，定义\(2^S=\left\{T|T\subset S\right\}\)
这里蕴含了一个幂集公理，即集合的幂集还是集合
证明：假设存在一个双射\(f:S\mapsto 2^S\)，那么取\(T=\left\{x|x\not\in f(x)\right\}\)，显然这个集合不同于任何双射中的值域，这就得到了一个矛盾
这个方法叫对角线法则，很好用~
##可数与不可数
定义\(S\)可数(countable)当且仅当\(\exists f:\mathbb N\mapsto S\)为双射
定理：\(\mathbb R\)不可数
证明：这是别处看来的，觉得更好理解一些(虽然没有用到对角线法则)
这里先只证明\([0,1]\)不可数。反证法：假设可数，则存在一种列举方式使得我们能穷尽所有的实数，记这个数列为\(\left\{a_n\right\}\)
那么对于\(a_0\)，我们可以把区间划分为\([0,\frac{1}{3}],[\frac{1}{3},\frac{2}{3}],[\frac{2}{3},1]\)，则至多有两个区间包含了\(a_0\)，取剩下的那个区间为下一次的操作区间，重复上述过程
这样我们就得到了一系列区间套，最终会收敛到一个点\(\xi\)
\(\xi\in\mathbb R\)，但是\(\forall i\)都有\(a_i\neq \xi\)，这样就推出了矛盾
##Cantor-Bernstein定理
其实还有一个名字的，不会写……
这个定理很直观：若\(|A|\le|B|\)且\(|B|\le|A|\)则\(|A|=|B|\)
证明用到了巴拿赫定理
##Banach定理
若存在\(f:A\mapsto B\)和\(g:B\mapsto A\)都是单射，则
存在\(A_0,A_1\)满足\(A_0\cap A_1=\varnothing\)，\(A_0\cup A_1=A\)
存在\(B_0,B_1\)满足\(B_0\cap B_1=\varnothing\)，\(B_0\cup B_1=B\)
使得\(f\left(A_0\right)=B_1\)，\(g\left(B_0\right)=A_1\)
证明有点长，先去吃个饭~
剩下的内容可以看之前写过的集合大小比较的文章，差不多都齐了……