图染色(Coloring)
染色数(Coloring Index)
图的染色分为点染色(vertex coloring)和边染色(edge coloring)
点染色指的是构造映射 \(f_k\colon V(G)\mapsto \left\{\;1,2,\ldots k\;\right\}\)，一个合法的染色(proper coloring) 则要求映射满足 \(\forall xy\in E(G)\Rightarrow f_k(x)\neq f_k(y)\)，记 \(k\) 为这个染色方案的染色数(chromatic number)。通常我们只关心最小的染色数，记作 \(\chi(G)\)
下面讨论的染色都指的是proper coloring
边染色则是类似地构造 \(f_k\colon E(G)\mapsto \left\{\;1,2,\ldots k\;\right\}\)，proper的则要求满足 \(\forall e_1,e_2\in E(G),\; e_1\cap e_2\neq\varnothing\Rightarrow f_k(e_1)\neq f_k(e_2)\)
类似地定义 \(\chi\prime (G)\) 为最小的边染色数
关于染色最经典的问题就是著名的“四色定理”的证明。定理的证明非常长.....有兴趣也不会去看的
团(clique)和独立集(independent set)
团的定义为 \(G\) 的完全子图，即 \(H\subseteq G\) 且 \(2||H||=|H|(|H|-1)\)
定义clique number为最大团的大小，记为 \(\omega(G)=\max \left\{\;H \text{ is a clique}\mid H\subseteq G\;\right\}\)
定义反团(co-clique)为 \(\overline G\) 的团，即 \(G\) 的一个独立集。同样定义 co-clique number 为最大独立集的大小，记为 \(\alpha(G)\)
容易有如下数量关系：
\(\alpha(G)\cdot \chi(G)\geqslant |G|\)
\(n-\alpha(G)\geqslant \chi(G)-1\)
\(\chi(G)\geqslant \omega(G)\)
\(\binom{\chi(G)}{2}\geqslant ||G||\)
1直接由每个独立集染上同一种颜色得到
2的意思是给最大的独立集染上一种颜色，剩下的点用 \(\chi(G)-1\) 种颜色染
3的意思是团内部的颜色互不相同
4的意思是同色点之间不能连边，因此至多连 \(\binom{\chi(G)}{2}\) 条边
图的色多项式
对图 \(G\) 用 \(k\) 种颜色染色(我们认为每个节点都不一样)的方案数是关于 \(G\) 和 \(k\) 的函数，我们不妨记作 \(F(G,k)\)
对 \(|G|\) 进行归纳。当 \(|G|=1\) 的时候 \(F(G,k)=k\)
设当 \(|G|<n\) 时成立，则 \(|G|=n\) 的时候，考虑 \(xy\in E(G)\)
只有两种情况：
\(x,y\) 同色，此时可以把 \(x,y\) 收缩成一个点而不改变方案数
\(x,y\) 异色，此时就是 \(F(G,k)\)
于是 \(F(G,k)+F(G\circ xy,k)=F(G-xy,k)\)
很容易看出这是一个多项式，并且首项系数和次项系数与 \(|G|\) 和 \(||G||\)有关
染色的贪心算法
关于染色的证明通常通过构造给出一个最小染色数的上界。构造出染色方案的一种常见算法是所谓“贪心算法”，用如下步骤描述：
维护已经染色的点集 \(V'\) 和未染色的点集 \({V}''\)
任取 \(x\in V''\)，给 \(x\) 染上 \(N(x)\cap V'\) 中未出现、且最小的颜色
把 \(x\) 从 \(V''\) 中删去，再加入 \(V'\) 中
若 \(V''=\varnothing\) 则结束算法，否则回到步骤2
容易发现这个算法并不总能给出较好的染色数的界，但仍然给出了一个结果，并且算法的结果与给节点染色的顺序十分相关，因此我们要结合以下引理来改进以下这个算法的效果。
引理一
取图 \(G\) 中的任意点 \(s\)，都存在 \(V(G)\) 的一个排列 \(v_1,v_2,\ldots v_{n-1}, s\) 使得 \(\forall 1\leqslant i< n\) 都有 \(\exists j>i,\;v_j\in N(v_i)\)。
为了好记我把这个叫排列引理
只需要构造出这样的序列即可。我们取 \(G\) 中以 \(s\) 为根的生成树 \(T\)，每次从 \(T\) 中取出叶子，这样就能保证每个点在被放进序列时都有至少一个邻居在它的后面，且根是一定放在最后的。
这样结合贪心染色可以得到 \(\chi(G)\leqslant \max\left\{\;\text{deg}(s)+1,\Delta(G-s)\;\right\}\)
引理二
若非完全图 \(G\) 满足 \(\delta(G)\geqslant 3\) 且 \(\kappa(G)\geqslant 2\)，那么 \(\exists x,y\in V(G)\) 使得 \(\exists v\in V(G),\; xv,yv\in E(G)\text{ and } xy\not\in E(G)\)
并且有 \(G-\left\{\;x,y\;\right\}\) 仍然连通。
取 \(G\) 的一个极小分隔集 \(T\)，则 \(|T|=\kappa(G)\geqslant 2\)。记 \(C\) 为 \(G-T\) 形成的连通分支的集合，那么有 \(\forall x\in T\)，\(\forall c_i\in C,\; N_G(x)\cap c_i\neq\varnothing\)
于是取 \(v\in T\)，令 \(x,y\) 分别取自不同的分支，那么必然有 \(xy\not\in E(G)\text{ and } xv,yv\in E(G)\)。
并且删去 \(x,y\) 后它们所属的分支仍然连通(\(\kappa(c_x)\geqslant 2\text { and }\kappa(c_y)\geqslant 2\))，\(\left\{\;c_x,c_y,x\;\right\}\) 仍然连通(\(\text{deg}(x)\geqslant 3\))，得到一个矛盾
染色数的平凡上界
任意图 \(G\) 都有 \(\chi(G)\leqslant \Delta (G)+1\)。
这个上界直接由贪心算法得到。
Brooks Theorem
\(G\) 是连通图，那么 \(\chi(G)=\Delta(G) + [G \text{ is complete or an odd cycle}]\)，其中 \([x]=1\) 当且仅当表达式 \(x\) 为真。
首先 \(G\) 是完全图的情况很显然，奇数圈的情况也很简单，反证法就可以说明不存在方案了。
然后 \(\Delta(G)\leqslant 2\) 的情况也很好讨论，就是一个圈，因此下面讨论的都是 \(\Delta(G)\geqslant3\) 的图。
对于 \(G\) 不是完全图也不是奇数圈的情况我们对 \(|G|\) 归纳证明：
当 \(|G|=3\) 时，\(G\) 不是完全图也不是圈，因此 \(G\) 只能是链，染色就很显然了；
设当 \(|G|< k\) 时命题成立，则取 \(|G|=k\) 的图，分如下几种情况讨论：
\(\kappa(G)=1\)，即 \(G\) 存在一个割点 \(x\)，则 \(G=G_1\cup G_2\)，其中 \(G_1\cap G_2=\left\{\;x\;\right\}\)。那么我们对 \(G_1\)、\(G_2\) 分别染色，由归纳假设得到他们方案的并就是 \(G\) 的一个合法染色方案，因此 \(\chi(G)=\max\left\{\;\chi(G_1),\chi(G_2)\;\right\}\leqslant\max\left\{\;\Delta(G_1),\Delta(G_2)\;\right\}\leqslant \Delta(G)\) 得证。
\(\kappa(G) \geqslant 2\)，且存在 \(x\in V(G)\) 使得 \(\text{deg}(x)<\Delta(G)\)，则根据引理一构造 \(x\) 在最后的序列并贪心染色，这样就有 \(\chi(G)\leqslant\Delta(G)\)
\(\kappa(G)\geqslant 2\)，且 \(\forall x\in V(G)\) 都有 \(\text{deg}(x)=\Delta(G)=\delta(G)\)，则根据引理二存在 \(x,y,v\in V(G)\) 使得 \(xv,yv\in E(G)\) 且 \(xy\not\in E(G)\)。我们把 \(x,y\) 染上同种颜色，根据引理一把 \(v\) 放在序列末尾，这样就可以贪心地染出 \(\chi(G)\leqslant \Delta(G)\) 了。
图的定向(orientation)
图定向的严格定义是构造映射 \(f\colon E(G)\mapsto V(G)\times V(G)\)，简单地说就是给无向边定方向
我们称有向无环图(Directed Acyclic Graph) 为DAG，DAG有许多优秀的性质
DAG的染色算法
对于给定的有向无环图 \(G\)，我们给出如下染色算法步骤：
我们需要维护一个映射 \(g\colon V(G)\mapsto \mathbb N^+\)，\(g(x)\) 表示以节点 \(x\) 为终点的最长路长度。
找到 \(x\in V(G)\) 使得 \(x\) 的入度为0，在 \(N_G(x)\) 中找到已经走过的点中 \(g(v)\) 的最大值，令 \(g(x)=g(v)+1\)
删去 \(x\)，标记 \(x\) 已经走过了。若还有未经过的点则返回步骤2
细心的朋友们很快就可以发现这是一个拓扑排序上的计数。很显然 \(g\) 下任意相邻节点的函数值都不相等。于是我们caim：找到的映射 \(g\) 就是一个染色方案。
不妨记 \(p(G)\) 表示DAG图 \(G\) 中最长路的长度，那么有 \(\chi(G)\leqslant p(G)\)
复杂度是可以做到 \(\Theta(n+m)\) 的
利用图定向给出染色数的紧界
不妨设 \(H\) 是图 \(G\) 的任意一个定向，\(K\) 是 \(H\) 极大的不含有向圈的子图，那么有：
\(\chi(G)\leqslant p(K)\)，并且存在一个定向使得它们恰好相等
这个结论是很强的。不等号的部分在DAG的染色中已经给出，我们只需要考虑 \(E(G)\backslash E(K)\) 中的边加入后会不会产生相同颜色的相邻节点就好了。由 \(K\) 的定义可知 \(\forall uv\in (E(G)\backslash E(K))\)，有 \(K+uv\) 会产生一个有向圈，即 \(K\) 中存在一条 \(v-u\) 有向路，这保证了 \(g(v)\neq g(u)\)
下面证明存在一个定向的极大无圈子图 \(K\) 使得 \(p(K)=\chi(G)\)。我们只需要证明 \(p(K)\leqslant\chi(G)\)
首先用 \(\chi(G)\) 给 \(G\) 染色，然后对 \(G\) 定向：若 \(uv\in E(G)\) 有 \(c(u)<c(v)\)，则构造定向 \(f(uv)=(u,v)\)，否则 \(f(uv)=(v,u)\)
即我们规定边只能从小颜色连向大颜色。这样 \(K\) 中路的长度至多为 \(\chi(G)\)，也就是 \(p(K)\leqslant \chi(G)\)
这个定向实际上是在枚举所有贪心算法的操作序列，也就是说存在至少一种操作的顺序使得我们trivial的贪心算法能够摸到 \(\chi(G)\) 的门槛。
平面图的五色定理
四色定理太难勒，这里有一个比较好玩的弱化版本——任意平面图(plane graph)/可平面图(planar graph)是5-可着色(colorable)的
引理一
极大可平面图有等式 \(||G||=3|G|-6\) 成立
推论1：平均度为 \(\frac{2||G||}{|G|}=\frac{6|G|-12}{|G|}<6\)，因此 \(\exists x\in V(G)\) 使得 \(\text{deg}(x)\leqslant 5\)
推论2：极大可平面图删去任意点仍然是可平面图，因此 \(\forall x\in V(G)\) 都有 \(\text{deg}(x)\geqslant 3\)
引理二
极大可平面图中任意点的邻居导出一个圈
只需要找到一个平面画法，删去这个点，观察这个点所在的区域的边界即可。
可平面图不好直接做，因此我们向 \(G\) 加边直至 \(G\) 成为极大可平面。只需证明新图 \(G'\) 仍然是 5-可染色即可。
我们对极大可平面图的大小归纳。当 \(|G|=1\) 是显然的。
设当 \(|G|<n\) 时成立，则 \(|G|=n\) 时取 \(x\in V(G)\)
讨论：
\(\text{deg}(x)<5\)，则由贪心算法可知加上 \(x\) 也不需要超过5种颜色。
\(\text{deg}(x)=5\)，则 \(x\) 有恰好 \(5\) 个邻居
若5个邻居中存在两个颜色相同，则染上 \(x\) 也只需要至多5种颜色
若5个邻居互不相同，则需要特殊讨论。
现在来看2.2的情况。根据引理二我们得到5个点共圈，不妨按顺序记为 \(v_1, v_2,\ldots v_5\)，其颜色分别为 \(c_1,c_2\ldots c_5\) 那么我们做如下操作：
把 \(v_1\) 的颜色换成 \(c_3\)
把与 \(v_1\) 距离为1的点中，颜色为 \(c_3\) 的点的颜色换成 \(c_1\)
把距离为2的点做同样操作....
直到不存在可以更改颜色的点剩下。
若流程终止了，则我们通过switch得到了一个染色方案，而 \(c(v_1)\neq c(v_3)\)，即5个邻居只用了4种颜色，那么 \(G\) 就是5-可染色的了。
若最后一直换到了 \(v_3\)，即存在一条 \(v_1-v_3\) 路，使得路上的节点颜色交替为 \(c_1,c_3,c_1,c_3\ldots c_3\)，那么此次交换无效(没有达到预期的目的)
再类似地考虑 \(v_2,v_4\)，若成功则证明完毕，否则存在一条 \(v_2-v_4\) 颜色交替路
注意到 \(G\) 是平面图，因此不存在这样两次都失败的情况(why？)，即 \(v_2-v_4\) 和 \(v_1-v_3\) 必然相交。因此证毕。
二分图的染色
这个非常sb，二分图嘛，黑白染色黑白染色，\(\chi(G)=2\)
还有边染色的部分，先去吃饭...
回来填坑了
图的边染色
具体定义见上面
首先给出一个简单的关于边染色的界的结论：
\(\forall G\), \(\chi'(G)\geqslant \Delta(G)\)
这个界的证明非常简单，只需要找到度数最大的节点，给它的边染上颜色就好了
二分图的边染色
若 \(G\) 是二分图，则 \(\chi'(G)=\Delta(G)\)
首先有 \(\chi'(G)\geqslant\Delta(G)\)，因此只需要证明 \(\chi'(G)\leqslant\Delta(G)\) 即可
我们对 \(||G||\) 归纳，设当 \(||G||<n\) 时命题成立，则取 \(xy\in E(G)\)，\(\chi'(G-xy)\leqslant\Delta(G-xy)\leqslant\Delta(G)\)
考虑加入 \(xy\) 这条边，那么\(\text{deg}_{G-xy}(x)\leqslant\Delta(G),\text{deg}_{G-xy}(y)\leqslant\Delta(G)\)。不妨记 \(M(x)\) 为 \(x\) 相邻的边中没被用过的颜色，则分两种情况讨论：
\(M(x)\cap M(y)\neq\varnothing\)，则给 \(xy\) 染上 \(M(x)\cap M(y)\) 中的任意一种颜色，\(\chi'(G)\leqslant\Delta(G)\)
\(M(x)\cap M(y)=\varnothing\)，则 \(\exists a\in M(x), b\in M(y)\) 使得 \(a\not\in M(y),b\not\in M(x)\)。类比点的染色，我们尝试通过交换来让出一种颜色。即令 \(x\) 邻边中染上 \(b\) 颜色的边换成 \(a\) 颜色，并沿着这条边走向一个邻居；再令这个邻居染上 \(a\) 颜色的邻边换成 \(b\) 颜色..... 直至走到一个不用换颜色的节点，则停止
- 我们claim这样的走法一定能换成功，即使走回了起点。原因在于这是一个二分图，所有的圈都是偶圈，而我们交替地走着 \(a,b,a,b,\ldots\) 的边，因此最后必然可以走出一条路(这样就直接交换颜色)或一个圈(这样就相当于轮换了一圈的颜色)
于是就证完了
一个任意图的更强的界
事实上 \(\forall G\) 都有 \(\Delta(G)\leqslant\chi'(G)\leqslant\Delta(G)+1\)
这个证明有点麻烦，咕了吧（