Zero Sum Games
即原本讨论的收益矩阵有两个，分别对应于玩家1和玩家2。零和游戏保证了 \(A+B=O\)，这说明只需要一个唯一的矩阵即可建模游戏收益，通常规定为玩家1的收益
考虑一个混合策略outcome \((p,q)\)，对于玩家1而言收益就是 \(p^\intercal Aq\)，玩家2就是 \(-p^\intercal Aq\)。对于纯策略只需要让概率分布坍缩为一个点就行了。
Min-Max
以下只讨论玩家1，玩家2是类似的。
对于任意的玩家2的混合策略 \(q\)，玩家1必然会选择使得 \(p^\intercal Aq\) 最大化的 \(p\)，即 \(p=\text{argmax } p^\intercal Aq\)
而对于任意玩家1的混合策略 \(p\)，玩家2必然会选择使得 \(p^\intercal Aq\) 最小化的 \(q\)，这说明 \(p=\text{argmax}_p\min_qp^\intercal Aq\)
定理1
\[\begin{aligned} \min_q \max_p U(p,q)\geq \max_p \min_q U(p,q) \end{aligned}\]证明比较玄妙，就是一堆绕来绕去的min-max
首先对于 \(U(p,q)\) 将其视为关于 \(q\) 的函数，那么有函数在任意点处的函数值不小于其最小值
\[\begin{aligned} U(p,q)\ge \min_q U(p,q) \end{aligned}\]此时将 \(U(p,q)\) 和 \(\min_q U(p,q)\) 视为 \(p\) 的函数，那么两侧加上关于 \(p\) 的最大值仍然成立
\[\begin{aligned} \max_p U(p,q)\geq \max_p \min_q U(p,q) \end{aligned}\]此时RHS是一个数，LHS是一个关于 \(q\) 的函数，这说明函数的最小值至少为RHS，即
\[\begin{aligned} \min_q \max_p U(p,q)\geq \max_p \min_q U(p,q) \end{aligned}\]定理2
若 \(p^*,q^*\) 分别是min-max和max-min时，有如下定理：
\((p^*,q^*)\) 是MNE当且仅当它们得到的收益相等。
证明是某次作业
定理3
有限策略游戏的混合策略纳什均衡必然存在。
这说明必然存在 \((p^*,q^*)\) 这样的均衡局面，且这样的局面分别是min-max和max-min
定理4
在对称零和游戏中，均衡点必然收益为 \(0\)。
这是显然的，对称零和说明 \(A^\intercal=B=-A\)，即对角线上收益为 \(0\)。对于正收益的局面，玩家2总能移动到对角线上获得一个更高的收益；负收益局面玩家1同理。
求解
对于玩家1而言即为求解 \(\max_p \min_q p^\intercal Aq\)，可以等价地转化为如下线性规划：
\[\begin{aligned} \text{maximize }v \\ \text{s.t.} \\ p^\intercal A\geq v\textbf1 \\ \text{where $p$ is a distribution over all strategies} \end{aligned}\]