多项式的表示
最熟悉的是系数表示法，例如 \(P(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i\)
系数表示法有它的好处：例如将 \(\Set{1,x,x^2\ldots}\) 视为一组基时，系数恰好就是多项式在这组基下的坐标；例如对于任给的点 \(x\) 可以计算多项式的值（\(O(n)\) 次乘法）。但是在给出系数表示法后，对两个 \(n\) 次多项式很难高效算乘积（还记得天才本科生Karatsuba吗）
还可以是点值表示法。根据lagrange插值可知，一个 \(n\) 次多项式可以由 \(n+1\) 个点唯一确定。因此 \(P(x)\overset{\text{def} }= \Set{(x_0,y_0),(x_1,y_1)\ldots}\)
此时计算 \(P(x)Q(x)\) 只需要求出 \(2n+1\) 个点值，然后将这些取值对应相乘即可得到 \(R(x)=P(x)Q(x)\) 的点值，也就唯一确定了 \(R(x)\)
因此我们希望有一种方法，对于给定的系数表示多项式 \(F(x),G(x)\)，能够选取 \(2n+1\) 个点
对这 \(2n+1\) 个点做插值后得到 \(F^*(x),G^*(x)\) 的点值表示，相乘最后还原得到 \(F(x)G(x)\) 的系数表示。
这就是FFT
FFT
DFT
不妨假设多项式是 \(n=2^k\) 次的
考虑方程 \(x^n=1\) 的所有复数解，它们构成了复平面单位圆上等距分布的 \(n\) 个点，记为 \(\Set{\omega_i\mid \omega_i^n=1}\)
选择这些点出自如下考虑：取 \(\Omega_n\)，那么有 \({\Omega_{2n} }^2\overset{\text{def} }=\Set{x^2\mid x\in \Omega_{2n} }=\Omega_n\)。这暗示我们可以通过类似分治的算法来每次将问题的规模减小一半。并且对于 \(\Omega_n\) 而言，只需要其生成元 \(\omega_1=e^{\frac{2\pi}{n+1}i}\) 即可完全表示。
假设需要对 \(F(x)=\sum_{i=0}^{2n} a_ix^i\) 插值，那么记 \(G(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{2i}x^{i}\)，\(H(x)=\sum_{i=0}^n a_{2i+1}x^{i}\)，显然有
\(F(x)=G(x^2)+xH(x^2)\)
原本要对 \(F(x)\) 在 \(\Omega_{2n}\) 上插值，现在要对 \(G(x),H(x)\) 在 \(\Omega_n\) 上插值
主定理算一下就是 \(O(n\log n)\) 的。
IDFT
考虑如下矩阵形式的DFT
\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} \omega^0 & \omega^0 & \cdots & \omega^0 \\ \omega^0 & \omega^1 & \cdots & \omega^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \omega^0 & \omega^n & \cdots & \omega^{n^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F(\omega^0) \\ F(\omega^1) \\ \vdots \\ F(\omega^n) \end{bmatrix} \end{aligned}\]即我们的 \(\Omega_n\) 是一组基，\(\Set{a_n}\) 则是基下的坐标，作用一下就能得到多项式在 \(\Omega_n\) 上的点值。
这个矩阵 \(W\) 非常经典，算一下行列式和逆就会发现对于IDFT的操作只需要取 \(\omega_1'=-\omega_1\) 做DFT即可实现逆变换，最后需要除掉一个系数 \(\frac{1}{n+1}\)