主要关注怎么由已有群得到新的群. 如果上过正经高代应该会对这一套流程比较熟悉
子群
$ G$ 为子群, 非空子集 \(H\subseteq G\) 是 \(G\) 的子群当且仅当 \(H\) 在 \(G\) 中同一运算下为群.
必然有 \(e\in H\), 且 \(e_H=e_G\). 由反证法设 \(e_H\neq e_G\), 则 \(e_H e_G = e_H = e_G\), 此处的运算均在 \(G\) 中进行.
子群的等价定义
定义1
\(H\subseteq G\) 为子群, 当且仅当
- \(\forall a, b\in H, ab\in G\)
- \(\forall a\in H, a^{-1}\in G\)
容易验证此定义与 \(H\) 为群等价.
定义2
\(H\subseteq G\) 为子群, 当且仅当 \(\forall a, b\in H, ab^{-1}\in H\)
注意到 \(\forall a\in H, aa^{-1}=e\in H\), 且 \(\forall a\in H, ea^{-1}=a^{-1}\in H\). 易得定义2与定义1等价.
子群之交
子群之交仍为子群.
若 \(H_1,H_2\leqslant G\) 且 \(H_1\neq H_2\), 那么 \(H_1\cap H_2\leqslant G\)
很显然 \(H_1\cap H_2\) 非空 (至少有 \(e\in H_1, e\in H_2\))
\(\forall a,b\in H_1\cap H_2\), 那么有 \(a,b\in H_1\) 且 \(a,b\in H_2\). 这说明 \(ab^{-1}\in H_1\) 且 \(ab^{-1}\in H_2\), 即 \(ab^{-1}\in H_1\cap H_2\). 由定义2可知 \(H_1\cap H_2\) 为群.
子群之并
子群之并不一定仍为子群.
取 \(H_1,H_2\leqslant G\), 且 \(H_1\neq H_2\) 没有包含关系.
由反证法, 设 \(H_1\cup H_2\) 仍为子群, 则取 \(a\in H_1\backslash H_2, b\in H_2\backslash H_1\), 观察 \(c=ab\)
- \(c\in H_1\), 此时 \(a, c\in H_1\), 由定义2 \(ca^{-1}=b\in H_1\) 矛盾;
- \(c\in H_2\backslash H_1\), 此时 \(b, c\in H_2\), 由定义2 \(cb^{-1}=a\in H_2\) 矛盾;
故假设不成立, \(H_1\cup H_2\) 不是子群.
当然在 \(H_1\leqslant H_2\leqslant G\) 的情况下, \(H_1\cup H_2=H_2\leqslant G\) 是一个子群.
有限子群
有限群 \(G\) 的子集 \(H\) 若对运算封闭, 那么 \(H\leqslant G\)
考虑任取 \(a\in H\), \(\Set{a^1， a^2\ldots a^k}\), 由 \(G\) 的有限性必然存在 \(k'\in \mathbb{N}\) 使得 \(a^{k'}=e\). 由这个序列容易得到 \({a}^{-1}=a^{k'-1}\).
商群
对于群 \(G\) 和子群 \(H\leqslant G\), 可以定义 \(G\) 上的二元关系 \(R_H\) 为
\[ \forall a,b\in G, aR_Hb\iff a^{-1}b\in H \]
易验证 \(R_H\) 是 \(G\) 上的等价关系, 由此可导出一个 \(G\) 的划分 \(G/R_H\), 也可记作 \(G/H\).
这个等价关系看起来也许有些奇怪, 可以考虑一个线性空间中的直观例子: 在三维欧式空间 \(V\) 中, 取 \(z\) 轴这个子空间 \(Z\).
\(\forall \alpha,\beta\in V\), 定义二元关系 \(\alpha R\beta\iff \alpha-\beta\in Z\). 可以发现, 这样定义的二元关系"连接"了 \(z\) 轴垂直穿过的所有水平平面上的点, 此时作陪集划分 \(V/X\) 就是把三维空间"压成"了二维平面, 新平面中的每个点表示原本的一条垂直线.
\(G\) 上关于 \(H\) 的陪集划分
给定 \(H\leqslant G\), 关于元素 \(a\in G\) 的左陪集定义为 \(aH=\Set{ah\mid h\in H}\)
有 \(aH=[a]_R\), 即元素 \(a\) 的左陪集恰好等于其在关系 \(R_H\) 下的等价类. 即 \(\forall b\in G, aR_H b\iff b\in aH\). 证明是简单的.
通常把 \(G/H\) 称为 \(G\) 关于 \(H\) 的左陪集划分, 也叫 \(G\) 关于 \(H\) 的左商集空间.
指数和 Lagrange 定理
\(G\) 为有限群.
定义 \([G:H] = \left\lvert G/H\right\rvert\) 为 \(H\) 在 \(G\) 中的指数. 由左消去律可知 \(\forall a\in G, \left\lvert aH\right\rvert=\left\lvert H\right\rvert\), 且 \(G/H=\Set{aH\mid a\in G}\) 为一个划分, 因此 \(\left\lvert H\right\rvert [G:H] = \left\lvert G\right\rvert\)
若有 \(H\leqslant K\leqslant G\) 为群, 那么有
\[ [G:K]=[G:H] [H:K] \]
连续两次 Lagrange 定理即得.
同余关系
\(G\) 中运算导出到 \(G/H\) 中, 要求 \(R\) 是同余关系, 即
\[ \left. \begin{aligned} a^{-1}b\in H \\ c^{-1}d\in H \end{aligned} \right\} \Rightarrow {c}^{-1}{a}^{-1}bd\in H \]
为了形式上的对称, 可以写成
\[ {c}^{-1}{a}^{-1}b(c {c}^{-1})d={c}^{-1}({a}^{-1}b)c ({c}^{-1}d)\in H \]
注意到 \({c}^{-1}d\in H\), 因此上式成立只需要 \({c}^{-1}({a}^{-1}b)c\in H\). 又由 \(a,b\) 的任意性, 只需要 \({c}^{-1}hc\in H\) 对任意的 \(h\in H\) 成立. 这是正规子群的来源.
正规子群
\(H\leqslant G\), 称 \(H\) 为 \(G\) 的正规子群, 当且仅当 \(\forall g\in G, \forall h\in H, {g}^{-1}hg\in H\), 记为 \(H\lhd G\)
左右陪集定义
若 \(H\leqslant G\) 且 \(\forall a\in G\) 都有\(aH = Ha\) 则 \(H\lhd G\)
注意到 \(aH=Ha\) 可得 \(\forall h\in H, ah {a}^{-1}\in H\), 且 $HG $ 可得 \(\forall h\in H, \exists h'\in H \text{ s.t. } ah {a}^{-1} = h'\), 此时 \(ah\mapsto h'a\) 即为 \(aH\mapsto Ha\) 的双射.
陪集运算定义
若 \(H\leqslant G\) 且 \(\forall a,b\in G, aH bH=\Set{ah_1bh_2\mid \forall h_1,h_2\in H}=abH\), 那么有 \(H\lhd G\).
若 \(H\lhd G\), 由正规子群的左右陪集定义, \(ah_1bh_2=a(h_1b)h_2\), 而 \(h_1b\in Hb=bH\), 因此存在 \(h_1'\) 使得 \(ah_1bh_2=abh_1'h_2\in abH\)
若 \(aHbH=abH\), 则取 \(b={a}^{-1}\) 就有 \(aH {a}^{-1} H=H\). 这说明 \(\forall h_1,h_2\in H\), \(ah_1 {a}^{-1} h_2\in H\), 即 \(ah_1 {a}^{-1}\in H\).
非常奇妙, 我们怀着凑出一个同余关系的目的, 找到了一类特殊的子群, 并且发现在这类子群下的左右陪集划分竟然相等, 对称性在这里统一了.
同余关系和正规子群
给定子群 \(H\leqslant G\), 我们有
\[ \text{$R_H$ 是 $G$ 上的同余关系}\iff H\lhd G. \]
"\(\Rightarrow\)":
由同余关系的定义, \(\forall a,b,c,d\in G, a R_H b, c R_H d\Rightarrow ac R_H bd\)
即给定 \({a}^{-1}b\in H, {c}^{-1}d\in H\) 必然有 \({\left({ac}\right)}^{-1}bd\in H\), 求证 \(H\lhd G\).
任取 \(g\in G, h\in H\), 显然有 \(ghR_H g\) 且 \({g}^{-1}R_H e\). 由同余关系, \(gh {g}^{-1} R_H g\), 即 \(gh {g}^{-1}\in H\).
"\(\Leftarrow\)":
由正规子群的左右陪集定义, \(aH=Ha\)
注意到 \({a}^{-1}b\in H\), 因此 \({\left({ac}\right)}^{-1}bd={c}^{-1}{a}^{-1}bd\in {c}^{-1}Hd={c}^{-1}dH=H\).