群的同构意味着二者本质上没有区别, 同态则可以导出某些同构.
下面默认 \(G_1, G_2\) 是两个群.
同态
若存在映射 \(f\colon G_1\mapsto G_2\), 且 \(\forall a,b\in G_1, f(ab)=f(a)f(b)\), 那么称 \(f\) 是 \(G_1\) 到 \(G_2\) 的同态.
若 \(f\) 为单射, 则 \(f\) 为 \(G_1\) 到 \(G_2\) 的单同态.
若 \(f\) 为满射, 则 \(f\) 为 \(G_1\) 到 \(G_2\) 的满同态.
下面默认 \(f\) 是 \(G_1\mapsto G_2\) 的同态.
定理1
若有同态 \(f\colon G_1\mapsto G_2, g\colon G_2\mapsto G_3\), 那么有同态 \(g\circ f\colon G_1\mapsto G_3\)
证明是简单的.
定理2
\(f(e_1)=e_2\), 其中 \(e_1, e_2\) 分别为 \(G_1, G_2\) 的幺元.
注意到 \(f(e_1)f(e_1)=f(e_1e_1)e_2=f(e_1)e_2\), 由消去律 \(f(e_1)=e_2\).
定理3
\(\text{Im}f\leqslant G_2\).
- 结合律是显然的
- \(f(e_1)\) 是幺元
- \({f(a)}^{-1}f(b)=f({a}^{-1}b)\in\text{Im}f\)
因此 \(\text{Im}f\) 成群. 又因为 \(\text{Im}f\subseteq G_2\), 所以 \(\text{Im}f\leqslant G_2\).
这说明 \(f\) 即使不是满同态, 也可以选取 \(G_2'=\text{Im}f\) 来使得 \(f\) 为 \(G_1\mapsto G_2'\) 的满同态.
核
定义 \(\ker f=\Set{a\in G_1\mid f(a)=e_2}\), 称为 \(f\) 的核, 也叫零空间.
定理4
\(\ker f\lhd G_1\).
首先 \(e_1\in \ker f\), 且 \(\forall a,b\in G_1\), 若 \(f(a),f(b)\in \ker f\), 则 \(f({a}^{-1}b)=f({a}^{-1})f(b)=e_2\), 因此 \(\ker f\leqslant G_1\).
接着 \(\forall g\in G_1, h\in \ker f\), 有 \(f({g}^{-1}hg)=f({g}^{-1})f(h)f(g)=f({g}^{-1}g)=e_2\).
定理5
\(f\) 是单同态, 当且仅当 \(\ker f=\set{e_1}\).
若 \(\ker f=\set{e_1}\), 由反证法, 设 \(\exists a,b\in G_1 \text{ s.t. } f(a)=f(b)=c\in G_2\)
那么有 \(f({a}^{-1}b)={f(a)}^{-1}f(b)={c}^{-1}c=e_2\), 而 \({a}^{-1}b\neq e_1\), 这与 \(\ker f=\set{e_1}\) 矛盾. 故假设不成立.
另一侧是显然的.
同构
若 \(f\colon G_1\mapsto G_2\) 既是满同态, 又是单同态, 那么 \(f\) 就是一个同构.
群同态第一定理
定理的顺序有很多说法
若 \(f\colon G_1\mapsto G_2\) 是满同态, \(\ker f\lhd G_1\), 那么 \(\sigma\colon G_1/\ker f\mapsto G_2\) 是同构, 其中 \(\sigma(a\ker f)=f(a)\).
有些地方会表述成 \(\sigma\colon G/\ker f\mapsto \text{Im }f\), 看起来更漂亮一些.
首先需要证明 \(\sigma\) 是良定义的映射, 即 \(\forall a,\forall b\in [a], \sigma(a\ker f)=\sigma(b\ker f)\). 注意到 \({a}^{-1}b\in\ker f\), 因此 \(f({a}^{-1}b)={f(a)}^{-1}f(b)=e_2\), 立即有 \(f(a)=f(b)\).
\(\sigma\) 显然是满同态;
\(\forall a,b\in G\), \(f(a)=f(b)\Rightarrow {a}^{-1}b\in \ker f\Rightarrow a\ker f=b\ker f\). 说明 \(\sigma\) 是单射. 故 \(\sigma\) 是同构.
可以回忆一下高代里讲过 \(\dim V = \dim \ker V + \dim \text{Im }V\). 又因为 \(\dim (V/W)=\dim V - \dim W\), 结合有限维线性空间同构当且仅当维数相同, 其实就是 \(V/\ker V\mapsto \text{Im }V\) 同构.
对应定理
设 \(f\) 是群 \(G\) 到 \(\text{Im}f\) 的满同态，定义 \(\sigma\colon K\mapsto \Set{f(k)\mid k\in K}\)，则 1. \(\sigma\) 为 \(\Set{H\leqslant G\mid \ker f\subseteq H}\to \Set{H\leqslant\text{Im}f}\) 的双射 2. \(\sigma\) 将正规子群映射为正规子群 3. 若 \(H\lhd G\) 且 \(\ker f\subseteq H\)，那么 \(G/H\cong \text{Im} f/\sigma(H)\)
这个定理讲的是通过群之间的满同态 \(f\)，我们可以诱导出使得子群间一一对应的双射 \(\sigma_f\)
为了追求双射的性质，这里对 \(G\) 的子群也就是 \(\sigma_f\) 的定义域作出了限制：只考虑包含 \(\ker f\) 的那些子群
对应定理的一个特殊情形就是当 \(f\) 为 \(G\) 到其商群 \(G/N\) 的自然同态时，\(\ker f=N\)，\(\text{Im} f=G/N\)，\(\sigma(H)=H/N\)，写出来就是 \(G/H\cong (G/N)(H/N)\)，当 \(H=N\) 时即为群同态第一定理