\newcommand\norm[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \newcommand\abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}

写在前面

命题逻辑（或者 零阶逻辑）到一阶逻辑的变化，在于描述的粒度。命题逻辑只能描述命题之间的关系，以及它们如何构成更大的结构（新的命题）。在一阶逻辑中我们可以深入原子命题的内部，讨论命题的构成。

为了做到这一点，需要引入集合上的n元关系。从集合论作为基础的角度看，这么做是比较和谐的。

命题逻辑

命题逻辑的不同之处在于，我们既可以描述一个系统内的某些运算（通过函数、变量和常元），又可以描述由这些运算的结果得到的命题（通过谓词和逻辑连接符）。

一个例子就是标准算术模型 $\scr A$：

我们希望能够描述一个系统 $\scr A$，即描述清楚

1. 系统内部存在一些元素（自然数）

2. 这些元素互相可以通过运算（加法、后继）得到新的自然数

3. 可以判断两个元素的大小关系（$<$ 是二元谓词）、相等关系（$=$ 是二元谓词）

4. 可以把若干判断组合成一个更大的判断（通过命题构造子组合命题）

注意到上述4条是有层级的，12位于系统内部，3可以根据需要构造，4在不同的系统中可以完全相同。

n元关系

定义集合 $D$ 上的n元关系为n元函数 $f\colon D^n\mapsto \left{T,F\right}$，取 $P=\left{x\mid x\in D,f(x)=T\right}$，那么就可以仅用集合来表示n元关系。

特别的，$<$ 是一个二元关系。它同时是 $\mathbb R,\mathbb N,\mathbb Z$ 上的二元关系，因此可以看出n元关系的定义还要看其定义域，此处即论域

语法

记 $\scr P,C,V,F$ 分别为 谓词、常量、变量、函数 符号的可数集，规定每个谓词 $P\in{\scr P}$ 和函数 $F\in{\scr F}$ 都有arity（有多少参数）$\mu(P),\mu(F)\in\mathbb N$。$0$ 元谓词就是命题逻辑中的命题，$0$ 元函数即为常元。

一阶逻辑中仍然存在命题构造子 ${\wedge,\vee,\rightarrow,\neg}$，通常取一个完备集即可。

规定量词 $\forall,\exists$ 分别读作 任意 和 存在

项

项集 ${\scr T}$ 由如下递归定义：

1. $\scr C\subseteq T$，常元是项

2. $\scr V\subseteq T$，变量是项

3. $f\in{\scr F},f(t_1,t_2\ldots t_{\mu(f)})\in{\scr T}$，由若干项作为实参的函数作用是项

4. 项仅限于此

所谓的项集就是在描述系统内部的元素，产生新的项的方法只有函数作用。

原子公式

形如 $p(t_1,t_2\ldots t_{\mu(p)}),p\in{\scr P}$ 的公式是原子公式

原子公式承担了从项过度到公式（命题）的角色

公式

给出BNF

\begin{aligned}

\begin{aligned}

\

\end{aligned}

\end{aligned}

一阶逻辑是对命题逻辑的简单拓展，仍然保持了树状结构，之前的证明套路仍然适用。

在一阶逻辑中既然有变量就同样有作用域的问题。具体的定义类似$\lambda$-演算：

1. 公式 $\forall x\, F$，$\exists x\, F$ 中，$x$ 的作用域为公式 $F$，$F$ 不要求有 $x$ 出现

2. 称变量 $x$ 是公式 $F$ 中的自由变量，当且仅当 $x$ 在 $F$ 中出现，且不在限定 $x$ 的任何作用域中。

3. 非自由变量就称其为约束变量。

4. 若公式 $F$ 中，任意变量都是约束变量，则称 $F$ 为封闭公式（Closed Formula），宋公的书叫做句子。

替换

和 $\lambda$-演算中的替换是一模一样的

语义

命题逻辑的语义由解释给出，在一阶逻辑则不够

回忆命题逻辑中解释的定义：$\scr I$ 是函数 $U_A\mapsto \left{T,F\right}$，其中 $U_A$ 表示公式 $A$ 中全部原子命题构成的集合

考虑还差了哪些。为了实现类似的效果，我们需要

1. 给常量赋予含义

2. 给变量赋予含义

3. 给项赋予含义

4. 给谓词赋予含义

5. 给原子公式赋予含义

解释

宋公的书把这个叫做结构，也行吧。

规定公式 $A$ 的解释是一个三元组 $(D,\left{R_1\ldots R_m\right},\left{d_1\ldots d_k\right})$

其中 $D$ 是论域，$R_i$ 是论域 $D$ 上的关系，$d_j$ 是 $D$ 中的元素，其赋予了 $A$ 中常量含义。

一个例子是 $\textbf 1<\textbf 2$ 和 $壹<贰$，此处的 $\left{壹，贰\right}$ 都是常量，在规定解释为 $(\mathbb N,\left{<\right},\left{1,2\right})$ 时才能说等式成立（讨论其真值）。可能存在这么一个神奇的国度，它们把 $1$ 写作 $\textbf 2$，把 $2$ 写作 $\textbf 1$，那么式1在它们的国度（特定解释下）就不成立了。

但这是不够的。考虑公式 $x<a$，其在任意解释下都不能讨论真值，因为自由变量 $x$ 的值无法确定，由此引入赋值的定义。

赋值

记 ${\scr I}A$ 是公式 $A$ 的解释，$A$ 的赋值 $\sigma{[{ {\scr I}_A}]}$ 是函数 ${\scr V}\mapsto D$，其赋予了 $A$ 中所有自由变量唯一的论域中的元素作为值。

可以通过类似于 $\sigma_{[{\scr I}_A]}\left{x\rightsquigarrow v\right}$ 来对映射进行单点修改，非常熟悉的味道

项的语义

base case都很简单，需要注意的只有这么一点：项集是必然可数的，因此项的解释必然是可数的。

大概可以这么理解：对于实数 $\R$，我们必然没法用一阶语言来遍历（穷举）它，因为一阶的语言必然是可数的。

这里就出现了一个gap，我们对任意的项进行解释，不一定能得到整个论域。

公式的语义

base case都很简单，需要注意

$\forall x.P$ 的解释为：对于一切 $t\in d$ 都有 $P[\frac{d}{x}]$ 为真。

没了，就这么简单。