\newcommand\norm[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \newcommand\abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}

Zero Sum Games

即原本讨论的收益矩阵有两个，分别对应于玩家1和玩家2。零和游戏保证了 $A+B=O$，这说明只需要一个唯一的矩阵即可建模游戏收益，通常规定为玩家1的收益

考虑一个混合策略outcome $(p,q)$，对于玩家1而言收益就是 $p^\intercal Aq$，玩家2就是 $-p^\intercal Aq$。对于纯策略只需要让概率分布坍缩为一个点就行了。

Min-Max

以下只讨论玩家1，玩家2是类似的。

对于任意的玩家2的混合策略 $q$，玩家1必然会选择使得 $p^\intercal Aq$ 最大化的 $p$，即 $p=\text{argmax } p^\intercal Aq$

而对于任意玩家1的混合策略 $p$，玩家2必然会选择使得 $p^\intercal Aq$ 最小化的 $q$，这说明 $p=\text{argmax}_p\min_qp^\intercal Aq$

定理1

\begin{aligned}

\min_q \max_p U(p,q)\geq \max_p \min_q U(p,q)

\end{aligned}

证明比较玄妙，就是一堆绕来绕去的min-max

首先对于 $U(p,q)$ 将其视为关于 $q$ 的函数，那么有函数在任意点处的函数值不小于其最小值

\begin{aligned}

U(p,q)\ge \min_q U(p,q)

\end{aligned}

此时将 $U(p,q)$ 和 $\min_q U(p,q)$ 视为 $p$ 的函数，那么两侧加上关于 $p$ 的最大值仍然成立

\begin{aligned}

\max_p U(p,q)\geq \max_p \min_q U(p,q)

\end{aligned}

此时RHS是一个数，LHS是一个关于 $q$ 的函数，这说明函数的最小值至少为RHS，即

\begin{aligned}

\min_q \max_p U(p,q)\geq \max_p \min_q U(p,q)

\end{aligned}

定理2

若 $p^,q^$ 分别是min-max和max-min时，有如下定理：

$(p^,q^)$ 是MNE当且仅当它们得到的收益相等。

证明是某次作业

定理3

有限策略游戏的混合策略纳什均衡必然存在。

这说明必然存在 $(p^,q^)$ 这样的均衡局面，且这样的局面分别是min-max和max-min

定理4

在对称零和游戏中，均衡点必然收益为 $0$。

这是显然的，对称零和说明 $A^\intercal=B=-A$，即对角线上收益为 $0$。对于正收益的局面，玩家2总能移动到对角线上获得一个更高的收益；负收益局面玩家1同理。

求解

对于玩家1而言即为求解 $\max_p \min_q p^\intercal Aq$，可以等价地转化为如下线性规划：

\begin{aligned}

\text{maximize }v

\

\text{s.t.}

\

p^\intercal A\geq v\textbf1

\

\text{where $p$ is a distribution over all strategies}

\end{aligned}